Curso: MAP2320 - Métodos Numéricos em Equações Diferenciais II (ROMA)

Geral

Professor Alexandre M Roma roma@ime.usp.br | Sala 288-A | 3091-6144 ou 3091-6136.

Atendimento: 3as Feiras, 17h40m às 18h, Sala 143-B.

CALENÁRIO USP | EMENTA DA DISCIPLINA | CRITÉRIO DE AVALIAÇÃO: veja proposta no fórum do professor | NOTAS FINAIS

BIBLIOGRAFIA SUGERIDA

[1] Equações Diferenciais Parciais (EDP's) / aspectos teóricos : Santos, R. J. (2011) | Sodré,U. (2003) | John, F. (1981, BIME) | Spiegel, M.R.: "Análise de Fourier: Resumo da Teoria e 205 Problemas Resolvidos" e "Schaum's Outline of Theory and Problems of Fourier Analysis: with Boundary Value Problems" (ambos na BIME) | Rossato,L.C. (2011) (Apostila do ITA)

[2] EDP's / aspectos computacionais: LeVeque, R. (2005) | Estácio, K. C. et al. (2005) |

[3] EDP's / modelagem e simulação em fluidos: Ferreira, V. G. et al. (2010) | Fortuna, A. O. (2000, BIME) | Roma, A.M. (2008)

[4] Outras categorias: Schey, H. M. (2005, BIME)

ATALHOS INTERESSANTES

ParaView | VisIt

Fórum

Fórum de notícias (uso do professor)
Fórum

Fórum de discussão (uso dos alunos)

30 julho - 5 agosto

AULA 01 2012.07.31

AVALIAÇÃO PROPOSTA: 0.5*[(média aritmética de exercícios em sala) + (média aritmética de programas e chamadas orais) ]

Introdução às edp's e comentários gerais: 01 (Ganesh,S.S.).
Leituras sugeridas (como tarefa para o mês de Agosto): Séries de Fourier e Transformadas de Fourier (Santos, R.J.).
Escolha um dos tipos "essenciais" (elíptico, parabólico ou hiperbólico) e procure um problema "real" cuja modelagem resulte naquele tipo de edp (depois, via fórum, troque entre vcs as refs e as modelagens).

AULA 02 2012.08.02

Resolução de uma equação do tipo parabólico (modela de difusão de calor, por exemplo, ou "poluentes" a serem dispersados num meio) via Método da Separação de Variáveis (e.g. Santos, R.J.).

EXERCÍCIOS EM SALA (valendo nota | individuais): Resolução de uma equação parabólica via Método da Separação das Variáveis, 16/08, e investigação das propriedades de um método numérico, 30/08. Para 16/08, será necessário ter estudado Séries de Fourier e, para 30/08, ter estudado Transformadas de Fourier.

EXERCÍCIO (valendo nota): Em grupo ou individualmente, os alunos precisarão entregar (em Setembro, em data ainda por definir), um modelo matemático oriundo de qualquer área do conhecimento que resulte num dos tipos essenciais de edp's: parabólico, elíptico e hiperbólico. Recomendo aprender a classificar (e.g. linear, não-linear, semi-linear, parabólica, etc.) pois em algum momento também haverá um exercício para classificação.

6 agosto - 12 agosto

AULA 03 2012.08.07

Introdução à discretização de equações diferenciais parciais parabólicas. Diferenças finitas: Euler, Euler Implícito e Crank-Nicolson. Discussão sobre a solução de sistemas lineares oriundos desta discretização.

AULA 04 2012.08.09

Mais sobre discretização dos domínios temporal e espacial, diferenças finitas, discretizações primeiras da equação do calor numa barra isolada. Equações algébricas lineares associadas às discretizações vistas e possíveis formas de solução.

13 agosto - 19 agosto

AULA #05 2012.08.16

Discussão da Tarefa #1 e proposta da sua Versão 2.0 . Conceitos primeiros de análise numérica de edp's: problema-modelo adotado para introduzir tais conceitos foi o da equação estacionária do calor numa barra (c.f. LeVeque, pp. 12-17, do texto e não do pdf). Erros de discretização local e global, consistência e ordem de um método numérico (tudo inspirado pelo problema-modelo e será generalizado posteriormente).

AULA #06 2012.08.21

Discussão da Tarefa #1 e proposta de sua Versão 3.0 . Continuidade da introdução de conceitos de análise numérica: estabilidade. Convergência para o problema-modelo: erro de discretização local de O(h^p ) + estabilidade => convergência (com taxa de convergência com mesma ordem). Leitura recomendada: LeVeque pp.01-17.

TAREFA #2: (sem data definida) Como fica a matriz do Método de Euler empregado com diferenças centradas espaciais para o problema de condução de calor numa placa retangular? (Sugestão: primeiro discretize a geometria do domínio computacional num conjuntto de "células computacionais" obtendo a "malha espacial", depois decida onde colocar sobre esta malha as incógnitas, e.g. nós, centros de célula, etc, e, por fim, discretize a edp e obtenha o sistema de equações algébricas a ser resolvido no computador - note que ele será um sistema linear pois a edp é linear).

20 agosto - 26 agosto

AULA #07 2012.08.23

Avisos gerais sobre exercício em sala, 3a feira, 28/08 e a entrega da Tarefa #1. Unicidade de solução do Problema do Calor numa barra (via Princípio do Máximo/Mínimo).

27 agosto - 2 setembro

AULA #08 2012.08.28

EXERCÍCIO EM SALA.

AULA #09 2012.08.30

Término do Princípio do Máximo/Mínimo e a demonstração de unicidade de soluções em condições "brandas e razoáveis" para a busca (isto é, solução contínua até o bordo, com derivadas contínuas no interior, dadas condições iniciais com derivadas contínuas).

3 setembro - 9 setembro

SEMANA DA PÁTRIA (não houve aula - mas pedi que progredissem na Tarefa #02).

10 setembro - 16 setembro

AULA #11 2012.09.11

MODELO MATEMÁTICO #01 (Equação de Difusão, também denominada como "do Calor" - tipo parabólico)

dedução do modelo matemático
questões de existência e unicidade de solução do modelo matemático
acervo de esquemas de discretização usando o Método de Diferenças Finitas (Euler, Euler Implícito e Crank-Nicolson)
questões de análise numérica para avaliar os diferentes esquemas numéricos: definição de erro de discretização local, consistência e ordem de consistência, erro de discretização global, noções de estabilidade e convergência (tudo isto baseado nas notas de aula do LeVeque)

Discussões sobre Tarefa #02 - Fase 2: início da implementação computacional do Método de Euler Implícito para resolver uma equação do calor não homogênea, dadas condições de contornon de Dirichlet e uma condição inicial. Deve-se ter a estrutura de laços temporal pronta e um resolvedor de sistemas lineares implementado e testado (e.g. Gauss-Seidel, variação do Algoritmo de Thomas - veja Numerical Recipes, ou até mesmo o Método dos Gradientes Conjugados). Sugiro que o resolvedor de sistemas lineares esteja fora do programa principal, que ele seja um "módulo a parte" (um método separado a ser chamado no programa principal.

As próximas fases da Tarefa #02 serão: Verificação (Fase 3) e, posteriormente, Análise e Visualização de Resultados (Faase 4).

Para concluir a EXISTÊNCIA de soluções do Problema do Calor, precisei usar alguns teoremas sobre seqüências e séries de funções, em particular, convergência uniforme e derivação da função limite (lembre-se em que condições se tem: "derivada do limite é o limite das derivadas"). Alguns textos que podem ajudar a rever tais resultados são: 01 | 02 . Dêem uma olhada (é um bom assunto e pode ser argumento de exercício em sala de aula).

Tarefa #03: Pedi para olharem a programação do evento EPTT2012 e escolher ao menos uma atividade para participar: palestra, conferência ou poster. Participe, vá ao site ou aos proceedings pegue o resumo e entregue, após o evento, com seu nome e número USP. Faremos algo a ser decidido no fim do mẽs com este material. Guarde/peça o comprovante de sua inscrição (se vc não o fez online, ppssivelmente poderá ainda fazer no dia inicial do evento).

AULA #12 2012.09.13

MODELO MATEMÁTICO #02: EQUAÇÃO DO POTENCIAL (Modelo Elíptico)

MODELO MATEMÁTICO #03: EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES (não é nem parabólico, nem elíptico e nem hiperbólico): modelam matematicamente o escoamento de um fluido. Veremos a situação do escoamento incompressível de um fluido e uma técnica de resolução numérica deste modelo matemático intrincado.

17 setembro - 23 setembro

AULA 2012.09.17

Revisão do Modelo Matemático #03 (equações de Navier-Stokes para um escoamento incompressível). Demonstração do Teorema de Decomposição de Hodge (e de Helmholtz). Discussão da Condição de Compatibilidade na equação de Poisson com condição de contorno de Neumann. Metodologia numérica para este modelo:

[1] Discretização do domínio de definição da solução: $(t,x,y) \in [0,T]\times [a,b]\times [c,d]$, decidindo o número de divisões em cada direção e, consequentemente os passos de integração, $\Delta t, \Delta x, \Delta y$.

[2] Decisão de onde se posicionar as incógnitas: aqui, colocaremos pressão no centro da célula computacional, a componente horizontal da velocidade na aresta vertical (a leste) e a componente vertical na aresta horizontal (aon norte).

[3] Discretização temporal por Euler Implícito(1a ordem) e espacial por diferenças finitas centradas no espaço (2a ordem).

[4] Para forçar a linearidade das equações discretizadas, o termo advectivo (não linear) é discretizado no instante de tempo anterior (para o qual, tudo já é conhecido). Além disso, para se ter um sistema que dependa só das componentes da velocidade, u e v, e independa da pressão, p, utilizamos o Método da Projeção de Chorin.

AULA 2012.09.19

Revisão da discretização das equações de Navier-Stokes para um escoamento incompressível (e consequente correções pequenas na formulação). Início do estudo da teoria essencial de equações elípticas: Princípio do Máximo|Mínimo. Próxima aula, questões envolvendo unicidade de solução.

LEMBRETES E AVISOS IMPORTANTES: para 02/10, pedi que entregassem um modelo matemático de um problema que recaia em equações parabólicas e, numa outra tarefa, entregassem como se classifica as edp's em parabólica, elíptica e hiperbólica (este, deverá necessariamente ser feito à mão). Lembrei a vocês tbm sobre a Tarefa da ETT2012: consiste em escolher ao menos uma atividade e entregar um resumo (o dos anais mesmo) em papel. Recomendo, em paricular, a visita ao Tanque de Provas Numérica da Poli, palestras que envolvam modelagem matemática, discretização e simulação computacional (além dos coquetéis e coffee breaks, claro...)

24 setembro - 30 setembro

AULAS 2012.09.24 - 26

Conteúdo sobre os modelos matemáticos #2 (equação do potencial, que é do tipo elíptico) e #3 (equações de Navier-Stokes, que não se classifica).

Comentários | Revisão | Discussões e Abordagem de: Princípio do Máx/Mín para EDPs Elípticas. Unicidade da equação de Laplace com condições de contorno de Dirichlet. Condição de Compatibilidade (de Existẽncia) para equação de Poisson (que é uma de Laplace com lado direito não nulo) *com condições de contorno de Neumann*. Método da Projeção de Chorin/Temam (aplicação do Teorema de Decomposição de Hodge).

IMPORTANTE Mostrei como se monta a "tabela de verificação" relativa à Análise de Convergência por Refinamento de Malha empregando a técnica de solução manufaturada. Além disso, mostrei heuristicamente porque a estratégia funciona!

1 outubro - 7 outubro

AULA 2012.10.02

Na semana passada, mostramos o Método de Separação de Variáveis no contexto de equações elípticas e aplicamos a idéia para encontrar a solução numa placa retangular. Estou usando o livro (muito bom!) do Strauss,W.A. Partial Differential Equations: An Introduction, Cap. 6. Comentários sobre unicidade e sobre existência deste problema particular (mas importante).

Nesta aula, iniciamos a solução da equação de Laplace num disco circular com a mesma metodologia de separação de variáveis: reescrevemos o laplaciano em coordenadas polares e aplicamos separação de variáveis. Continuaremos na próxima aula. Recolhi os exercícios sobre classificação de edps (simples) e da dedução de um modelo matemático que recaia em uma edp parabólica.

AULA 2012.10.04

Concluiremos a solução da equação do potencial num disco circular. Fórmula de Poisson. Princípio do Máx/Mín (Forma Forte). A seguir, retomarei, por um breve período, edp's parabólicas e usarei agora Transformada de Fourier.

. .

ESTA TAREFA ESTÁ OBSOLETA! PROCURE PELA SUBSTITUTA A ESTA EM 2012.10.22

NOVA TAREFA ("Equação de Poisson com CC de Dirichlet")

Considerem o problem modelo dado por uma equação de Poisson com condições de contorno de Dirichlet num retângulo. Este exercício consiste em resolvê-la numericamente discretizando o domínio em Nx por Ny células computacionais com espaçamentos dx e dy, respectivamente, formando uma malha uniforme e estruturada. Nesta malha, colocaremos as incógnitas no centro da célula computacional e discretizaremos o operador laplaciano empregando a Regra dos Cinco Pontos.

Nas condições acima, para utilizar a condição de contorno de Dirichlet, imaginaremos uma moldura com "c" células computacionais ao redor do domínio retangular (isto deve ser declarado como parâmetro dentro de seu programa). Note que, com esta estratégia, suas matrizes terão (Nx+2c) por (Ny+2c) entradas. Há pelo menos duas formas de usar esta moldura de "ghost cells":

[1] (para 18/10/2012) simplesmente assuma que sua condição de contorno vale no bordo e numa região exterior ao domínio que contém a "moldura" de c células computacionais. Resolva o problema por G-S, por exemplo.

[2] (para uma data ser definida) aproximaremos por diferenças finitas de 2a ordem a condição de contorno se ela for conhecida *apenas* no bordo (ou seja, se a hipótese em [1] não for válida). Discutiremos os detalhes desta abordagem em momento oportuno.

Comentários Importantes:

[i] A visualização da solução da equação de difusão do calor na placa fica, a partir de agora, opcional (seria a Fase IV). Para a equação do calor na placa retangular, quero apenas as Tabelas de Verificação empregando solução manufaturada e refinamento de malha.

[ii] É a praxe fazermos verificação empregando solução manufaturada. Então, faremos isto para a equação do potencial tbm. Entretanto, como a partir de agora isto é o "default", peço que façam sempre sem eu precisar pedir. Este exercício sobre a equação do potecial será avaliado apenas por sua visualização via VisIt/Paraview (Priscila irá ajudar).

8 outubro - 14 outubro

AULA 2012.10.09

Fórmula de Poisson. Princípio do Máx/Mín para Eqs. Elípticas (Forma Forte). Comentários gerais sobre equação de Poisson com condições de Dirichlet e de Neumann, sua discretização e problemas numéricos. Material de consulta para este último tópico: THOMAS,J.W. | Anotações da Priscila

AULA 2012.10.11

Vamos discutir com um pouco mais de detalhes a discretização e problemas associados à resolução de uma equação de Poisson com condições de contorno de Neumann, do ponto de vista de Álgebra Linear.

15 outubro - 21 outubro

Não disponível

22 outubro - 28 outubro

AULA 2012.10.23-25

Conceitos essenciais de análise numérica: erro local de disc., consistência e ordem de consistência. Estabilidade numérica (via Análise de von Neumann). Erro global de disc.
Análise de Fourier: transformadas direta e inversa de funções definidas na reta real e de funções definidas numa malha uniforme na reta.
Introdução à Análise de von Neumann (problema modelo proposto: equação unidimensional de primeira ordem da onda viajante).

A Análise de von Neumann é geral mas usarei modelos hiperbólicos apenas para tentar unir o " útil ao agradável" uma vez que estamos um tanto fora do meu cronograma ideal. Estou usando o CAP 2 do livro do Strikwerda, J.C. "Finite difference schemes and partial differential equations" (primeira edição | BIME).

IMPORTANTE: Dentre outros que serão dados, os quatro exercícios a seguir devem ser entregues em 13/11, 16h:

EXERCÍCIO #01: Considerando a equação não homogênea do calor na barra, pedem-se:

[A] mostre que para os métodos de Euler e Euler Implícito (com diferenças centradas no espaço) e Crank-Nicolson tem-se erros de discretização locais de ordens O(dt,dx^2), O(dt,dx^2) e O(dt^2,dt^2), respectivamente.

[B] Tais métodos são consistentes?

[C] Qual a ordem de consistência (no tempo e no espaço) de cada um deles?

EXERCÍCIO #02: Calcule a transformada de Fourier das funções abaixo:

[A] função de malha definida numa discretização uniforme de R com espaçamento h>0, {x_m=mh, m em Z}, dada por u_m=1, |x_m|<1, u_m=1/2, |x_m|=1, u_m=0, |x_m|>1.

[B] u_m=exp(-\alpha |m| h, m em Z, \alpha = cte >0.

EXERCÍCIO #03: Como se classificam as edp's de 1^aordem em hiperbólicas?

EXERCÍCIO #04: Considerando a propagação de calor numa barra, efetue a análise de von Neumann para os métodos de Euler, Euler Implícito e de Crank-Nicolson e obtenha as condições de estabilidade que o passo de integração no tempo deve satisfazer para termos convergência destes métodos (tome a equação homogênea).

A TAREFA DE EDP ELÍPTICA A SEGUIR SUBSTITUI A ANTERIOR DO DIA 04/10/2012:

Considere uma equação de Poisson não homogênea com condições de contorno de Dirichlet numa barra. Discretize o domínio espacial, posicione as incógnitas nos centros das células computacionais, discretize com diferenças centradas a edp e, empregando a idéia de "células fantasmas", utilize condições de contorno de Dirichlet. Obtenha o sistema *tridiagonal* oriundo desta discretização e resolva-o com o Algoritmo de Thomas (método direto = não iterativo).

DATA DE ENTREGA PROPOSTA: 07/11/2012.

29 outubro - 4 novembro

AULAs 2012.10.30 e 11.01

Material de referência para esta aula: John,F. Partial Differential Equations, pp.4-8.

Continuidade da discussão sobre estabilidade (Análise de von Neumann) e convergência para EDPs que tenham uma derivada temporal. Estamos usando como problema modelo atualmente a equação de 1a ordem hiperbólica

u_t+a u_x=0,

onde a>0.

As próximas aulas usarão *fortemente* as notas de Estácio,K.C. et al. (veja o início da página da disciplina) e Biezuner,R.J. Notas de Aula de Equações a Derivadas Parciais I/II.

Para mais exemplos sobre como calcular, como escolher o delta t de forma a manter o crescimento de erros sob controle (isto é, o critério de estabilidade) empregando a Análise de von Neumann veja [A] | [B].

5 novembro - 11 novembro

AULAS 2012.11.05-08

Continuação do estudo detalhado das propriedades numéricas dos métodos [A] "para frente no tempo e no espaço" e [B] "para frente no tempo e para trás no espaço", com foco em estabilidade e convergência da solução numérica.

ESTABILIDADE NUMÉRICA diz respeito à escolha do \Delta t correto para discretizar problemas com dependência temporal (e.g equações parabólicas e hiperbólicas) e, por ora, com apenas *uma* derivada temporal. Aplica-se von Neumann para se descobrir como escolher \Delta t visando ao controle do crescimento do erro global.

CONVEGẼNCIA NUMÉRICA diz respeito ao processo de limite onde \Delta t e \Delta x vão a zero e tem como conseqüência o erro de discretização global ir a zero.

Discussões teóricas sobre equações hiperbólicas de primeira ordem no tempo e no espaço (Leis de Conservação Hiperbólicas). Material de leitura sugerido na semana passada.

12 novembro - 18 novembro