Fórum Geral de Discussão

Olás!

Essa discussão tem tudo a ver com os experimentos do monocórdio de Pitagoras que eu mencionei na aula de hoje. O que não podemos esquecer no entanto é que tanto o comprimento de uma corda quanto o comprimento de um tubo (no caso dos instrumentos de sopro) são medidos em cm ou m, então a relação entre estes valores e as frequências produzidas (medidas em Hz ou 1/s) ou os períodos de oscilação (medidos em s) tem que ser mediada por uma outra grandeza, que é a velocidade de propagação do som no ar (v≈344m/s).

Simplificando um pouco as coisas, e negligenciando outros fatores relevantes (como a densidade da corda ou se o tubo é fechado em alguma ponta ou nas duas), podemos dizer que o comprimento (λ) da onda sonora produzida no ar através destes meios é proporcional ao comprimento efetivo (L) da corda ou tubo; ou seja, teremos λ=KL onde K é uma constante que responde pelas coisas que negligenciamos. Lembrando da expressão v=λf (v=velocidade de propagação, λ=comprimento de onda, f=frequência) vemos que a frequência será f=v/λ=v/(KL). Dava até para irmos além e negligenciarmos inclusive a velocidade (constante) do som, e dizermos simplesmente que a frequência produzida é proporcional ao inverso do comprimento do tubo ou corda. O importante nessa brincadeira é que todas as coisas negligenciadas permaneçam constantes (o que nem sempre é verdade).

Ao pressionarmos a corda em algum lugar estamos efetivamente reduzindo o seu comprimento, e isso se aplica tanto para instrumentos sem trastes (como violinos) quanto para instrumentos com traste (o traste no fundo é um facilitador da afinação, que permite a gente apertar no "lugar errado" e ouvir a frequência associada ao "lugar certo", que é o lugar do traste; não é à toa que violonistas clássicos frequentemente tocam sobre os trastes do violão, o que amplia os efeitos musicais disponíveis). Nos instrumentos de sopro, ao abrirmos sucessivamente os furos a partir de uma das pontas estamos também efetivamente reduzindo o comprimento do tubo, então neste tipo de digitação podemos pensar exatamente como no caso das cordas (mas esse raciocínio irá "quebrar" nas digitações que deixam furos abertos entre dois ou mais dedos fechados (fork fingerings), digitações estas que possuem uma análise mais complicada).

Voltando à questão das escalas, nosso violão ou guitarra possuem trastes posicionados para gerar uma escala de semitons, ou seja, para que as frequências associadas a duas "casas" adjacentes tenha um quociente igual a 2^(1/12). Vamos chamar de f₀ e l₀ a frequência e o comprimento da corda solta, e f₁ e l₁ a frequência e o comprimento da corda um semitom acima. Se f₁/f₀=2^(1/12) e os comprimentos são inversamente proporcionais às frequências correspondentes, então l₀/l₁=2^(1/12) (as constantes desconhecidas se cancelam!), ou ainda l₁=l₀*2^(-1/12), e repetindo o argumento para k semitons acima, teremos que l_k=l₀*2^(-k/12). Essa é uma expressão exata para o posicionamento dos trastes, e você pode pegar o seu violão e uma régua e verificar se ele foi construído direitinho! Mas note que estamos de fato calculando o comprimento efetivo da corda reduzida pelos trastes, então l_k é a distância do cavalete até o k-ésimo traste; se você quiser a expressão da distância p_k medida a partir da pestana, então esta será p_k=l₀-l_k=l₀*(1-2^(-k/12)). Note ainda que ao apertar a corda em uma "casa" estamos efetivamente aumentando a tensão e subindo a afinação da corda. Um luthier cuidadoso levará esse efeito em consideração, reduzindo minimamente a distância entre os trastes (teoricamente "desafinando para baixo") para compensar essa subida de afinação.

No caso dos tubos com digitações simples, se quiséssemos colocar um furo novo para cada passo de 1 semitom, poderíamos usar a mesma fórmula. Obviamente nenhum instrumento de sopro segue esta lógica, pois precisaríamos de 5 mãos para conseguirmos tocar 2 oitavas!

Escrevi esse e-mail um pouco mais longo pois este assunto é realmente interessante e infelizmente não teremos tempo para desenvolver estas ideias dentro do curso. Existem vários livros legais sobre acústica de instrumentos, alguns bastante acessíveis e outros bastante completos. Vale a pena dar uma espiada na estante da ECA e folhear alguns deles e ver qual tem mais o seu perfil.

Abraços,

Marcelo