Olá Pessoal, boa noite.
Encerrada toda e qualquer entrega relativa ao EP1, vamos aos comentários sobre o trabalho:
De acordo com os objetivos do enunciado, esperava-se que o aluno fosse capaz de observar:
- Item 1)
1 - O método (7) converge com ordem 1 e as aproximações obtidas apresentavam um caráter dissipativo, ou seja, conforme o tempo ia passando a amplitude da onda ia diminuindo. Esse efeito é reduzido com o refinamento da malha em estudo.
2 - O método (8) não converge para a solução do problema pois o domínio de dependência do método discreto não encontra-se contido no domínio de dependência contínuo do problema. Simplificando: a solução exata tem as curvas características viradas para um lado e o método constrói as aproximações com os pontos virados para o outro lado.
3- O método (LW) converge com ordem 2 e as aproximações apresentam um caráter dispersivo, ou seja, as aproximações obtidas ficam oscilando ao redor da solução do problema. Esse efeito é reduzido com o refinamento da malha em estudo.
- Item 2)
O método numérico nunca irá obter aquele bico gerado pela condição inicial. Isto ocorre devido ao fato de que estamos supondo que o problema tem a regularidade suficiente para expandirmos a série de Taylor até a primeira ordem de modo que os termos restantes sejam limitados. A condição inicial fornecida era apenas contínua, logo não seria possível realizar todas a expansão em Taylor dentro do domínio do problema. No Strikwerda tem um exemplo muito parecido.
Uma observação importante é que a equação da advecção transporta a condição inicial inclusive se ela tiver bicos. Esta propriedade é característica das equações hiperbólicas: O que você colocar na condição inicial (seja contínua ou descontínua) ela transporta durante o tempo.
Apenas como curiosidade: O fato da aproximação não alcançar o bico implica que a ordem numérica da forma como construímos não funciona. Quem quiser, pode testar os métodos e ver o que acontece.
- Item bônus)
No item bônus temos a chamada Equação de Burgers, onde a velocidade da onda em um determinado instante depende do valor dela mesma naquele instante. Neste item houve um pequeno erro de digitação, pois o cosseno da condição inicial deveria variar de 0 até 1 e não de 0 até 0.5. De qualquer forma, quem fez corretamente não perderá nada por isso (até mesmo porque é bônus!).
O principal a ser observado neste item é que as equações hiperbólicas não lineares podem criar descontinuidades na solução. Observe que, entre 0 e 0.5 a condição inicial vai aumentando e, consequentemente, a velocidade vai aumentando. Porém, a partir do 0.5 até o 1 a velocidade vai diminuindo e a partir do 1 ela é nula. Logo, a aproximação começa a acelerar e reduz bruscamente de velocidade. Isto pode ser observado na figura em anexo (a escala está diferente com x em [-1,3] e t em [0,2.4], mas a ideia é a mesma). Na imagem não é possível ver a descontinuidade pois os pontos foram conectados com linhas. Resumindo: a equação hiperbólica não linear além de transportar descontinuidades também é capaz de criar descontinuidades, mesmo quando utilizadas condições iniciais suaves como o cosseno do enunciado entre 0 e 1.
Olhei alguns relatórios e percebi que muitos de vocês copiaram o enunciado no relatório: Isso não ajuda em nada na nota de vocês (na verdade me desanima ver uma cópia do enunciado quando abro o pdf). Não importa se o relatório irá possuir 3 ou 30 páginas, mas sim as análises sobre os métodos implementados com base no que foi pedido no enunciado. Não interessa apresentar uma tabela cheia de números dizendo: "não convergiu" mas sim uma explicação (como acabei de fazer em 3 linhas) do motivo para o método não funcionar. Outro detalhe: encontra-se bem especificado desde o começo do semestre o que deve ser entregue e como deve ser entregue. A avaliação será feita conforme descrito na seção EPs - Critérios Gerais.
Por fim, sobre a data de entrega: os EPs encontram-se disponíveis desde o começo do semestre, assim como as suas datas de entrega. Além disso, dentro do enunciado dos EPs encontram-se todas as ferramentas necessárias para a implementação, independente do conteúdo das aulas. Isso foi feito (em julho) pensando nos alunos que trabalham e não tem tempo de ficar correndo feito loucos para entregar um EP pedido em cima da hora. Sendo assim, conversei com o professor e nos próximos EPs não será aceito o envio atrasado. Existe uma possibilidade de que eles sejam feitos em dupla, mas isso ainda será discutido entre o professor e as turmas. A recomendação padrão e canônica é: se organizem e não deixem para a última hora.
Att,
