Fiquei com uma dúvida.
No enunciado do EP1, está escrito (pag 5) que posso atulizar a solução nas posição m=0 levando em consideração que a condição de fronteira é periódica. Mas as condições de contorno dadas não são periódicas. O que eu faço?
Olivia
Olá Olivia, boa noite.
A condição de fronteira ser periódica faz com que a onda que "saia" pela direita "entre" pela esquerda do tubo. Para isto acontecer basta impor que a condição inicial u0(0) = u0(L) (a função dada satisfaz essa propriedade). Para atualizar a solução no instante inicial (n = 0) basta utilizar a condição inicial u_0 avaliada nos pontos x_m.
Uma observação: como a velocidade da onda no EP é baixa, não é possível ver a onda saindo do tubo. Para quem estiver interessado, aumente o valor da velocidade v e observe o comportamento da onda com o tempo.
Att,
Oi Marco!
O que eu estou falando é que a condição em t=0 do enunciado é diferente de zero só dentro do tubo, então não tem onda pra entrar nele. Se eu forçar que u na entrada seja igual a da saída, eu vou estar fazendo brotar corante, pq, na condição proposta no enunciado, não tem corante além do tubo
Olá Olivia, bom dia.
Temos duas questões a serem analisadas:
- Em relação ao modelo: Pense que no x = 0 tem uma válvula no x = L tem outra. Estando ambas as válvulas fechadas (t=0) a densidade do constraste dentro do tubo (intervalo [0,L] ) é dada pela função u_0(x). Suponha que sejam abertas as duas válvulas ao mesmo tempo: como o fluxo foi tomado constante e positivo (ou seja, da esquerda para a direita temos que a mesma quantidade de fluido que entrar irá sair), então a quantidade de contraste em um dado ponto será deslocado para a direita de acordo com a velocidade do fluido dentro do tubo. Observe que a densidade inicial mostra que só tem contraste em metade do tubo (pois a função é nula fora do intervalo [0,1] e o tubo é descrito por [0,2]). A ideia é observar a quantidade de contraste sendo transportada no interior do tubo.
- Em relação ao método numérico: Para exemplificar, considere o método Lax-Friedrichs (ou o LW) e M um número par de pontos utilizados na malha espacial em t_0 (ou seja, M+1 valores da solução). Quando vamos construir a aproximação em t_1 não será possível construir a aproximação em u_0 nem em u_n (pois elas utilizariam os pontos u_{-1} e n_{M+1}, que não existem). Logo, teremos apenas M-1 aproximações. Repetindo o processo, em dado momento será possível obter a aproximação apenas no ponto u_{M/2}, ou seja, somente serão obtidas as aproximações em um cone do domínio [0,L]x[0,T]. Para obter as aproximações no domínio todo é necessário que seja especificado o valor em um (e somente um) dos trechos x = 0 ou x = L, dependendo da direção para onde a onda é deslocada. Para não nos preocuparmos com isso, utilizamos a estratégia apresentada no EP: vamos supor que a onda que sai pela direita entra pela esquerda do domínio. Esta suposição é feita utilizando a condição inicial u0 tal que u0(0)=u0(L) e a observação (I) do enunciado. Com isto, temos todas as condições necessárias para obter a aproximação em todo o domínio [0,L]x[0,T].
Ficou meio grande a explicação, mas tentei ser o mais claro possível. Qualquer coisa, me procure pelo IME que eu te explico melhor (devo chegar lá pelas 16h e ficar na rede IME/Linux, bloco A).
Att,
Olá, Marco
Agradeço a resposta
Uma forma boa de enxergar o problema periódico é como um Toro (uma "rosquinha"), tudo que sai de um lado, entra do outro. Assim, a massa de contraste é sempre preservada.
Pedro.