Agenda do Curso

  • Geral

    Contrair tudo Expandir tudo

  • 5 janeiro - 11 janeiro

    AULA #01 (2009-01-05)
    1. Informações gerais: objetivos da disciplina, ementa, critério de avaliação, sobre a lista de presença, bibliografia e como serão os plantões de dúvidas.
    2. Problema de Cauchy. Notação (e o abuso dela).
    3. Discretização de um problema de Cauchy.
    4. Alguns exemplos
    5. EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES.

    AULA #02 (2009-01-06)
    1. Exemplos de métodos numéricos: Euler, Euler Implícito e Adams-Bashforth de 4 passos. Definições de métodos numéricos de passo único (ou de 1 passo) e métodos numéricos de passo múltiplo (ou de n passos).
    2. Discretização da EDO y´(x)=y(x)*sin(y(x)) com yo = y(xo).
    3. Método de Passo Único (explícito) Genérico: yk+1 = yk + h*Ø(xk,yk,h), onde Ø(xk,yk,h) é a "função de discretização" (no Método de Euler, Ø(xk,yk,h)=f(xk,yk)).
    4. Primeiros conceitos fundamentais: erro local de discretização e erro global de discretização. Convergência.
    5. EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES.
    ERRO LOCAL DE DISCRETIZAÇÃO: É o erro produzido por uma única aplicação do método numérico partindo-se de valores *exatos* no passo anterior.

    ERRO GLOBAL DE DISCRETIZAÇÃO: É o erro total produzido (acumulado e transformado pela Ø(xk,yk,h)) após k passos de integração.


    AULA #03 (2009-01-07) -

    1. Exemplos de funções que não são Lipschitzianas: g(x)=x2, para x peretencente aos reais e g(x,y)=xy/(1-x2) numa vizinhança do ponto (1,0).
    2. Sob as hipóteses de Ø(xk,yk,h) ser Lipschitz na segunda variável e do erro local de discretização ter ordem p, mostramos que o método de passo único yk+1 = yk + h*Ø(xk,yk,h) tem seu erro global de discretização indo a zero com velocidade hp-1. Se, portanto, p>=2, então o método converge.
    3. Definição de consistência com a EDO e de ordem de consistência.
    4. Métodos da Série de Taylor. AVISO: Revejam série de Taylor em 1 e em 2 variáveis.
    5. EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES.

    AULA #04 (2009-01-08) - EXERCÍCIOS

    1. Plantões presenciais de terça-feira as 14h. Procure o monitor na sala 257A.
    2. Divulgação da Lista 1.
    3. Quem quiser saber mais sobre o Butcher envie um email para o monitor.
    4. Exemplo de programas em C e Scilab e uso do gnuplot.
    5. Exemplos: pêndulo simplificado, modelos de epidemiologia SIR e SIM.
    6. Transformação de EDO de ordem >=2 em sistema de EDO's de primeira ordem.
    7. Comentários sobre funções lipschitzianas.
    8. Veja um Nanotutorial de Scilab.

  • 12 janeiro - 18 janeiro

    AULA #05 (2009-01-12)
    Expansão assintótica do erro global de discretização em métodos de passo único (e suas aplicações na validação da implementação do método e na estimativa do erro global).
    AULA #06 (2009-01-13)
    1. Conceito de estabilidade absoluta e sobre sua importância na escolha do passo de integração (soluções exatas limitadas devem ser aproximadas por soluções aproximadas limitadas!).
    2. Método formal de obter o fator de amplificação (basta aplicar o método numérico ao problema modelo y' = lambda y, com lambda < 0.
    3. Como obter algo parecido com o lambda do problema modelo no caso de problemas de Cauchy genéricos, y' = f(x,y).
    4. Veja exemplos: Método de Euler Implícito (EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES c.f. ex. 08 do ano passado!).
    5. O Método da Série de Taylor tem ordem q quando a função de discretização tem a forma Ø = f + hDf/2! + h2D2f/3! + ... + hq-1Dq-1f/q!
    INTERESSANTE: Resultado Teórico : Não existem métodos explícitos absolutamente estáveis. Isto significa que se desejarmos algum método absolutamente estável, devemos procurá-lo entre os métodos implícitos (CUIDADO! Nem todo método implícito efetivamente é absolutamente estável mas, em geral, eles tem intervalo de estabilidade absoluta "grande").

    AULA#07 (2009-01-14)
    Alguns comentários sobre estabilidade e sobre Métodos da Série de Taylor.
    1. Na prática, o passo de integração h>0 é escolhido analisando-se a estabilidade absoluta do método numérico considerado.
    2. Definição de região de estabilidade absoluta e de intervalo de estabilidade absoluta (usando-se o problema modelo y'= \lambda y).
    3. Importante: para o Método de Euler, a escolha do passo de integração h>0 num problema genérico y'=f(x,y) depende localmente de linearizações do problema, isto é, do problema linearizado, y'= df/dy(x,y) y (lambda, neste caso, é df/dy(x,y) suposto aproximadamente constante).
    4. Introdução aos métodos de Runge-Kutta (explícitos) com alguns exemplos.

    AULA #08 (2009-01-15) - AULA DE EXERCÍCIOS
    1. Resolução de exercícios da lista
    2. Série de taylor de várias variáveis
    3. Validação de código

  • 19 janeiro - 25 janeiro

    AULA #09 (2009-01-19)


    AULA #10 (2009-01-20) - AULA DE EXERCÍCIOS
    1. Resolução de exercícios da lista
    2. Sistemas de equações diferenciais ordinárias lineares
    3. Auto-valores e auto-vetores
    4. Retratos de fase

    AULA #11 (2009-01-21)


    AULA #12 (2009-01-22) - PROVA