Bom dia, Giovanna!
Sua dúvida está localizada na primeira parte do exercício 2.6: "Prove que duas soluções básicas adjacentes têm sempre associadas duas bases adjacentes". Você tem razão no fato de que o teorema 2.4 ajuda, mas mais pelo raciocínio que ele traz em sua demonstração do que exatamente numa aplicação direta. Vale a pena também esclarecer que o enunciado do exercício pressupõe a hipótese fundamental de que as linhas de A são l.i. (nem faz sentido falar em "bases" quando essa hipótese não vale).
Primeiro é necessário passar a limpo algumas coisas: as n-1 restrições ativas e comuns que caracterizam a adjacência das soluções básicas x e y são l.i. (isso é fundamental). Não é verdade que x e y estejam no poliedro (podem ser soluções básicas inviáveis). Também não faz sentido falar "esta restrição que elas não compartilham" como se existisse uma única restrição ativa não compartilhada. Pode haver muito mais do que 1 restrição ativa em x que não está ativa em y e vice-versa, assim como pode haver várias outras restrições ativas em x e em y (portanto comuns) além daquelas n-1 l.i. que caracterizam a adjacência. Essas observações têm a ver com o fenômeno de degenerescência que discutimos na última aula. Pode ser útil tentar construir exemplos práticos de poliedros canônicos com essas características. De todo modo, o mais importante é lembrar que sempre que falamos em "n" ou "n-1" restrições ativas e l.i. nunca devemos subentender "exatamente n" ou "exatamente n-1", mas sempre "dentre as restrições ativas existem n (ou n-1) l.i.".
A dificuldade em usar o teo. 2.4 diretamente é que ele garante a existência de alguma base para x e alguma base para y, mas se estas soluções básicas forem degeneradas, nem todas as bases associadas a x serão adjacentes a qualquer base associada a y (outra vez, construir exemplos concretos de dimentão baixa pode ajudar a entender melhor o problema). Isso também impede a argumentação por absurdo usando m-k (k>1) colunas em comum entre as bases. Com esta observação deve ficar mais claro o que o enunciado do exercício está dizendo de fato: não seria possível trocar por "se x e y são soluções básicas adjacentes então as bases associadas são adjacentes", primeiro porque não existem "as bases associadas" (podem ser várias para x e várias para y) e porque considerando quaisquer bases associadas a x e a y, a adjacência entre elas não seria verdade.
Assim o melhor é partir das definições: x e y serem soluções básicas adjacentes garante a existência de n-1 restrições ativas e l.i. comuns às duas soluções básicas. Isso equivale a dizer que o espaço gerado pelos vetores que definem as restrições comuns tem dimensão n-1. Como as m linhas da matriz são l.i. (hipótese fundamental), podemos afirmar (pelo argumento do completamento de bases, teo. 1.3) que existem n-1-m restrições de sinal ativas nas duas soluções, cujos vetores associados formam um conjunto l.i. juntamente com as linhas da matriz. Seja I o conjunto dos índices destas n-1-m restrições de sinal ativas em x e y (portanto índices tais que x_i=y_i=0), e seja J o conjunto complementar contendo m+1 índices.
A ideia é construir as bases adjacentes que representam x e y pensando que todas as variáveis em I serão *não-básicas* (aqui a intuição do exemplo 2.1 é importante). Assim estas bases têm que vir de dentro do conjunto J, tirando algum índice j para o x e algum índice k!=j para o y. Aquilo que você escreveu sobre o x_j=0 e y_k=0 está quase certo, mas o argumento realmente não ficou claro. O mais claro é pensar que o espaço gerado pelo conjunto de restrições ativas em x tem que ter dimensão n (pois x é solução básica); olhando para as n-1 restrições ativas e l.i. comuns a x e y, é possível acrescentar alguma restrição de sinal x_j>=0 l.i. em relação àquelas n-1 e que, se tornada ativa, definirá um sistema de equações com solução única (o próprio x). Isso permitirá concluir que o y_j terá que ser !=0 (pois ele não pode ser solução do mesmo sistema de equações que define x univocamente).
Desculpe se esta "dica" quase virou a solução completa. Vou deixar os passos finais da argumentação em aberto para você testar se essas ideias ficaram realmente claras.
Bom feriado!
Marcelo