Fórum de Discussão

Olás!

Em relação à continha que ficou empacada no final da aula de ontem, havia uma passagem errada que impediu o resultado principal de aparecer.

Recapitulando, estávamos tentando provar que, se usarmos filtros pareados com constantes K e K* que são complexo-conjugadas (K=re^ix, K*=re^-ix), então o filtro seria equivalente a um filtro com coeficientes reais. Usando K=re^ix e Z=e^iw para simplificar a notação, tínhamos que as funções de transferência dos filtros com constantes K e K* seriam H₁(ω)=(1-KZ^-1) e H₂(ω)=(1-K*Z^-1), respectivamente. Logo

H₁(ω)H₂(ω) = (1-KZ^-1)(1-K*Z^-1) = 1-KZ^-1-K*Z^-1-KK*Z^-2 = 1-(K+K*)Z^-1-|K|²Z^-2 = 1-2|K|cos(x)Z^-1-|K|²Z^-2

(onde KK* = re^ixre^-ix = r² e K+K* = re^ix+re^-ix = 2rcos(x)). A interpretação desta última expressão é algo que a gente vai discutir melhor na próxima aula, mas o importante é observar que os valores que aparecem multiplicando Z^-1 e Z^-2 são reais. No caso de filtros sem recirculação/recursão, é fácil ver que a última expressão obtida é a função de transferência de um filtro com 2 delays cuja equação é Y[n] = X[n]-2|K|cos(x)*X[n-1]-|K|²*X[n-2], pois se X[n] é senoidal (X[n]=Zⁿ), então

Y[n] = X[n]-2|K|cos(x)*X[n-1]-|K|²*X[n-2] = X[n]-2|K|cos(x)*Z^-1*X[n]-|K|²*Z^-2*X[n] = (1-2|K|cos(x)Z^-1-|K|²Z^-2)*X[n]

Isso significa que a ação dos dois filtros anteriores em série é equivalente à ação deste filtro com 2 delays, cuja equação, Y[n] = X[n]-2|K|cos(x)*X[n-1]-|K|²*X[n-2], que é usada no cálculo do sinal produzido pelo filtro, só tem coeficientes reais. Isso mostra que se X[n] for real então Y[n] também será. A rigor, fizemos a conta apenas para filtros sem recirculação, mas não é difícil fazer as contas no caso com recirculação, onde a equação do novo filtro será Y[n] = X[n]+2|K|cos(x)*Y[n-1]+|K|²*Y[n-2], para ver que também acontece a mesma coisa.

Voltando ao contexto de vários filtros simples (com 1 delay, com ou sem recirculação) concatenados em série, se todos os filtros possuirem um par usando a constante complexo-conjugada, todos estes pares se reduzirão a filtros de 2 delays como acima, cujas equações só terão constantes reais.

Na próxima aula discutiremos de forma geral a análise destes filtros com vários delays, e a correspondência deles com concatenações de filtros simples.