Olá Professora / Monitora.
Eu tenho uma dúvida em relação a ortogonalidade (Exercício do livro Callioli).
- Suponha que R⁴ tem o produto interno euclidiano e seja u = (-1, 1, 0, 2). Determine se o vetor u é ortogonal ao subespaço gerado pelos vetores
w1 = (0, 0, 0, 0)
w2 = (1, -1, 3, 0)
w3 = (4, 0, 9, 2)
O gabarito dá como resposta: Não.
Vou dizer a meneira que fiz:
Podemos escrever qualquer vetor (x) do R⁴ como combinação linear de w1, w2 e w3:
x = aw1 + bw2 + cw3, a,b,cER
x = a(0,0,0,0) + b(1, -1, 3, 0) + c(4, 0, 9, 2)
x = (b + 4c, -b, 3b + 9c, 2c)
u será ortogonal a esse vetor x <=> <u|x> = 0
<u | x> = <(-1, 1, 0, 2) | (b + 4c, -b, 3b + 9c, 2c)> =
= -b - 4c -b + 4c =>
=> <u | x> = -2b bER
Ou seja, se b é igual a 0, então u será ortogonal ao subespaço gerado pelos vetores w1, w2 e w3. Para confirmar isso, basta pegar qualquer valor de c e assumir b = 0. Desta forma o produto interno sempre será 0.
Se c = 1: <(-1, 1, 0, 2) | (4, 0, 9, 2)> = -4 + 4 = 0;
Se c = 2: <(-1, 1, 0, 2) | (8, 0, 18, 4)> = -8 + 8 = 0;
Oq está errado?
Obrigado
Marlon
Professora, obrigado por esclarecer a dúvida hoje em sala.
Só para entender melhor: Existe um vetor x no qual u é perpendicular. Mas u não é perpendicular ao subespaço gerado por w1,w2 e w3 pq não é valido para qualquer escalar (a,b,c)?
Obrigado novamente
Só para entender melhor: Existe um vetor x no qual u é perpendicular. Mas u não é perpendicular ao subespaço gerado por w1,w2 e w3 pq não é valido para qualquer escalar (a,b,c)?
Obrigado novamente
Oi, Marlon,
escrevi uma lonnnnnnnnnnnga resposta hoje a tarde, e perdi tudo!
primeiro, não entendi muito bem o que voce quer dizer::
"Existe um vetor x no qual u é perpendicular. Mas u não é perpendicular ao subespaço gerado por w1,w2 e w3 pq não é valido para qualquer escalar (a,b,c)?"
Entao, dado qualquer vetor u em um espaço vetorial DE DIMENSÃO MAIOR QUE 1
sempre teremos muitos ( na verdade infinitos!) vetores
ORTOGONAIS a u.
Além disso, se x é ortogonal ao subespaço gerado por w1, w2, w3,
então x tem que ser ortogonal a QUALQUER vetor do subespaço, e portanto x tem que ser ortogonal a QUALQUER combinação linear de w1, w2 e w3
pelo propria definição se ortogonal ao subespaço.
entao x é ortogonal ao subespaço se e somente se é ortogonal a
a.w1 + b.w2 +c.w3 para QUALQUER a, b e c reais
Alem disso, não é verdade que
"Podemos escrever qualquer vetor (x) do R⁴ como combinação linear de w1, w2 e w3:"
se isso fosse possivel teriamos um conjunto gerador com TRES elementos para R4
abraço
Gladys ( ué, nao sei porque está sublinhado.....)
escrevi uma lonnnnnnnnnnnga resposta hoje a tarde, e perdi tudo!
primeiro, não entendi muito bem o que voce quer dizer::
"Existe um vetor x no qual u é perpendicular. Mas u não é perpendicular ao subespaço gerado por w1,w2 e w3 pq não é valido para qualquer escalar (a,b,c)?"
Entao, dado qualquer vetor u em um espaço vetorial DE DIMENSÃO MAIOR QUE 1
sempre teremos muitos ( na verdade infinitos!) vetores
ORTOGONAIS a u.
Além disso, se x é ortogonal ao subespaço gerado por w1, w2, w3,
então x tem que ser ortogonal a QUALQUER vetor do subespaço, e portanto x tem que ser ortogonal a QUALQUER combinação linear de w1, w2 e w3
pelo propria definição se ortogonal ao subespaço.
entao x é ortogonal ao subespaço se e somente se é ortogonal a
a.w1 + b.w2 +c.w3 para QUALQUER a, b e c reais
Alem disso, não é verdade que
"Podemos escrever qualquer vetor (x) do R⁴ como combinação linear de w1, w2 e w3:"
se isso fosse possivel teriamos um conjunto gerador com TRES elementos para R4
abraço
Gladys ( ué, nao sei porque está sublinhado.....)