Mas uma maneira de construir um exemplo para isso e mostrar que o grafo realmente não é o grafo das arestas de outro é usar propriedades que você conhece do grafo das arestas.
Pelo teorema de Vizing, temos que o índice cromático (menor número de "cores" com as quais você consegue colorir as arestas de um grafo) é menor ou igual ao grau máximo deste grafo mais 1.
Já mostramos ainda que o índice cromático de um grafo dado é igual ao número cromático de seu grafo das arestas. Ainda que o grau máximo de um grafo é igual ao tamanho da clique máxima do grafo das arestas.
Assim se encontrarmos um grafo tal que seu número cromático é estritamente maior que o tamanho do clique máximo mais 1, teremos que esse grafo não pode ser o grafo das arestas de nenhum grafo.
O seu exemplo não tem essa propriedade. Então não conseguimos eliminar a possibilidade dele ser o grafo das arestas de outro grafo com esse critério. Mas isso não quer dizer que ele realmente não seja.
Existem exemplos de grafos com números cromáticos arbitrariamente maiores do que o tamanho do clique máximo. Mas eu estou com sono e não estou conseguindo pensar em nenhum.
Amanhã eu penso melhor.